一、前言
在高等数学的题目中，为了简化幂函数或者指数函数的运算，通常可以使用下面的式子进行 $e$ 抬起：
$$\textcolor{orange}{\triangle} = e^{\ln \textcolor{orange}{\triangle} }$$
其中，$\textcolor{orange}{\triangle}$ 就是要被“抬起”的原来的式子。
二、正文
性质
$e$ 抬起除了改变了式子的原有形式之外，并不会改变式子本身的值，原因如下：
$$\textcolor{orange}{\triangle} = \textcolor{red}{e}^{\ln \textcolor{orange}{\triangle} } \Rightarrow$$
$$\ln \textcolor{orange}{\triangle} = \log_{ \textcolor{red}{e} } ^{ \textcolor{orange}{\triangle} }.$$
Next
此外，由于对数函数的性质，$e$ 抬起通常还可以用于消去“上标”中的幂或指数，例如：
$$\textcolor{orange}{\triangle} ^{a} = \textcolor{red}{e}^{\ln \textcolor{orange}{\triangle} ^{a} } \Rightarrow$$
$$\textcolor{orange}{\triangle} ^{a} = \textcolor{red}{e}^{a \ln \textcolor{orange}{\triangle} }.$$
例题 一
题目：
已知 $f(x) = x^{\sin x}$ $(x > 0)$, 则 $f^{\prime}(x) = ?$
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解析：
$$f(x) = e ^{\sin x \ln x} \Rightarrow$$
$$f^{\prime} (x) = (e ^{\sin x \ln x}) \cdot (\sin x \ln x)^{\prime} \Rightarrow$$
$$f^{\prime} (x) = (e ^{\sin x \ln x}) \cdot (\cos x \ln x + \frac{1}{x} \sin x) \Rightarrow$$
$$f^{\prime} (x) = x^{\sin x} \cdot (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} ).$$
例题 二
题目：
$$I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{x}-1}{1-\cos x}=?$$
解析：
$$I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x \ln (1+x)}-1}{\frac{1}{2} x^{2}}=$$
$$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{\frac{1}{2} x^{2}}=$$
$$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\frac{1}{2} x^{2}}=2$$
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更新记录：第 01 次更新：2024 年 01 月 09 日